Vernetzung von Geometrie in Schule und Hochschule

Das Teilprojekt Mathematik des universitätsweiten Projektes „SKILL – Strategien zur Kompetenzentwicklung: Innovative Lehr- und Beratungskonzepte in der Lehrerbildung“ hat sich in den letzten zwei Jahren mit der Entwicklung eines Seminars zur Verknüpfung der Schulgeometrie mit der Hochschulgeometrie beschäftigt. Das Ergebnis ist die Veranstaltung „Geometrie in Schule und Hochschule“, die bereits im Wintersemester 2017/2018 und im Sommersemester 2018 an der Universität Passau angeboten wurde. Das Besondere am Seminar: Es setzt eigens programmierte mathematische Landkarten ein, um Zusammenhänge und die zeitliche Entwicklung zu veranschaulichen. Eine ausführliche Dokumentation des Seminars ist an diesen Blogbeitrag angehängt Der Artikel soll einen ersten Einblick in die Besonderheiten des Seminars geben.

Mathematische Landkarten als Hilfsmittel der Vernetzung

Unser Modellseminar will Zusammenhänge zwischen der in der Schule unterrichteten euklidischen Geometrie und der Fachvorlesung Geometrie an der Universität aufzeigen. Dazu betrachten wir verschiedene Themen aus beiden Blickwinkeln, also beispielsweise die Definition einer Gerade und untersuchen, wie die Definition aus der Schule mit der Definition der Hochschule zusammenhängt. Um den Lernprozess zu unterstützen, setzen wir zusätzlich einen begleitenden ILIAS Kurs ein, der zu jedem Thema die nötigen Definitionen und Sätze aus Schule und Hochschule bereitstellt. Dies ermöglicht den Studierenden ein individuelles Arbeitstempo und flexible Möglichkeiten zur Nachbereitung der Seminarinhalte. Um die Vernetzung von Schul- und Hochschulgeometrie zu erleichtern, hat das Teilprojekt Mathematische Landkarten entwickelt, die die Zusammenhänge und die zeitliche Entwicklung der einzelnen Themen der Geometrie aufzeigen.

Die Abbildung zeigt die Landkarte für die zeitliche Entwicklung der Geometrie. Entlang eines Zeitstrahls werden also verschiedene Entwicklungen in der Geometrie angeführt. Im Seminar verwenden wir diese Landkarte, wenn uns interessiert, in was für einem mathematischen Kontext eine Entwicklung gemacht wurde, also welche aktuelle Fragestellung oder welcher aktuelle Durchbruch diese Entwicklung nachsichgezogen hat. Denn oft führt ein Durchbruch zu vielen weiteren mathematischen Entwicklungen, zum Beispiel führte die Entdeckung der hyperbolischen Geometrie durch Nikolai Lobatschewski im Jahre 1926 zu weiteren Arbeiten an nichteuklidischen Geometrien und zum Begriff der Absoluten Geometrie.Die Landkarte zu den Zusammenhängen innerhalb der Geometrie haben wir eingesetzt, wenn wir untersuchen wollten, von welchem Problem aus eine Entwicklung gemacht wurde. Am besten schauen wir uns diesen Punkt anhand eines konkreten und zentralen Themas des Seminars an.

Ein Beispiel – Das Parallelelenaxiom

Das Parallelenaxiom beschäftigte die Mathematik über 2000 Jahre, bis Nikolai Lobatschewski diese Frage im 19. Jahrhundert endlich beantworten konnte. Es besagt:
Zu jeder Geraden g und jedem Punkt P außerhalb von g gibt es genau eine Gerade, die zu g parallel ist und durch P geht.
Das Problem damit war, dass die Mathematiker nicht wussten, ob das Parallelenaxiom aus den übrigen Axiomen der Geometrie hergeleitet werden konnte, oder ob es ein eigenständiges unabhängiges Axiom ist. Alle Versuche, dieses aus den anderen Axiomen der Geometrie herzuleiten, scheiterten. Aber genauso gelang es nicht, eine Geometrie zu konstruieren, die alle übrigen Axiome erfüllt, aber das Parallelenaxiom nicht. Somit blieb diese Frage lange ungelöst.

In unserer Veranstaltung greifen wir das Parallelenaxiom auf, da es die Entwicklung der Geometrie über 2000 Jahre lang beeinflusste. Außerdem ist das Parallelenaxiom, das in der Schule vorausgesetzt wird, aber an der Hochschule im Allgemeinen nicht gilt, einer der großen Unterschiede zwischen Schul- und Hochschulgeometrie. Lernt man in der Schule noch den Satz „Die Innenwinkelsumme im Dreieck ist 180°“, so lautet das Pendant aus der Universität „Die Innenwinkelsumme im Dreieck ist kleiner gleich zwei rechte Winkel“. Unser Ziel im Seminar war es, diese Unterschiede zwischen Schule und Hochschule aufzuarbeiten. Dazu haben wir uns zuerst mit dem Unterschied „180°“ versus „Zwei rechte Winkel“ beschäftigt. Wir haben uns angesehen, wie in der Hochschule ein Winkelmesser konstruiert wird und gesehen, dass dieser nur abhängig davon ist, welchen Wert man einem rechten Winkel zuweist. Setzt man einen rechten Winkel gleich 90°, so erhält man das aus der Schule bekannte Gradmaß. Der weitaus gravierendere Unterschied liegt aber in dem „kleiner gleich“ anstatt des „gleich“. Dazu haben wir eine Geometrie betrachtet, in der das Parallelenaxiom nicht gilt, nämlich die lobatschewskische bzw. hyperbolische Geometrie. In dieser haben wir anhand der Definitionen von Geraden die Innenwinkelsumme von Dreiecken untersucht und festgestellt, dass diese immer kleiner als 180° bzw. zwei rechte Winkel ist. Sie kann sogar beliebig klein werden, aber immer größer 0. Dadurch wurde den Studierenden der Grund für den Unterschied in den Formulierungen deutlich, nämlich dass in der Hochschule die meisten Aussagen allgemein hergeleitet werden, ohne zuvor zu unterscheiden, ob das Parallelenaxiom gelten solle oder nicht. Deshalb ergeben sich die beiden Fälle „gleich 180°“ und „kleiner 180°“.

Dieser Vergleich von Sätzen oder Definitionen aus Schule und Hochschule und die Erarbeitung des Grundes dafür mit Hilfe von mathematischen Landkarten war der Kerngedanke des Seminars. Dadurch sollte deutlich werden, wie sich aus der formalen, axiomatisch aufgebauten Hochschulgeometrie durch Reduzierung der Allgemeinheit die in der Schule behandelte euklidische Geometrie mit den bekannten Sätzen ergibt. Aber ebenso sollte dadurch aufgezeigt werden, wie sich die Schulgeometrie in das allgemeinere Gebilde der Hochschulgeometrie eingliedert. Übergeordnetes Ziel war es, dass die Studierenden erkennen, dass die Schul- und die Hochschulgeometrie nicht zwei getrennte Bereiche sind, sondern nur in unterschiedlicher Allgemeinheit die gleiche Thematik behandeln.

Geometrie_in_Schule_und_Hochschule_Seminarkonzept